どうも、ぐんじぇです。前回に引き続き統計の分野になります。今回は出題頻度は高くないものの、対策をしておかないと点数が取りにくい(逆に対策をしていれば容易に点数が取れる)信頼区間についての見ていきます。
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信頼区間の問題を取り組むにあたって
前回のt検定ではある信頼区間内にβ値は入っているのか、入っていないのかを見てきました。今回は逆にある信頼区間の中に入るβ値はどこからどこまでの範囲を取るかということを考えていくことになります。
最終的には β＝β(平均)±z×標準偏差 を求めていくことになります。よく見る式としてはβ(平均)±標準偏差というものがありますが、こちらはz＝1、即ち約68％信頼区間の話をしていることになります。ちなみに95％の信頼区間になるとz＝1.96となり、β(平均)±1.96×標準偏差となるわけです。
また、標準正規分布に従うことを前提としているため、標準誤差→標準偏差として用いることになります。
信頼区間の問題の解き方
2014年 午後 第3問 問6のようなβの95%信頼区間を求める問題が出てきます。t検定等を理解できているなら決して難しい問題ではないです。与えられている数値としてはβ＝0.94、t(β)＝22.4となります。
まずは標準誤差を求める
前回も使用した t＝(β‐0)/標準誤差 を用いて標準誤差を求めていきます。尚、ここでは帰無仮説をβ＝0として考えています。また、標準誤差、標準偏差が未知の値ではない場合はこちらの計算は不要となります。
22.4＝(0.94‐0)/標準誤差 ⇒ 標準誤差＝0.94/22.4 ~ 0.042 となります。
信頼区間のz値を確認する
こちらはt検定でも行ったことと同じことをします。両側検定にて95％信頼区間のz値を見ていきます。問題用紙に添付されている標準正規分布表から有意水準のz値の値を確認します。有意水準5％の場合は両側検定から片側の有意水準2.5％(5％の半分)のz値を確認することになります。
標準正規分布表よりz＝±1.96
β±z×標準偏差 を計算する
必要な数値を求めることができたのであとは最後の計算をするだけです。
βの下限：β-z×標準偏差
βの上限：β＋z×標準偏差
となりますので、βの範囲は
0.94-1,96×0.042≦β≦0.94＋1,96×0.042
⇒0.86≦β≦1.02となります。([0.86,1.02]←数学的に●以上▲未満は大括弧で表記することができます。)
【別解】
95％信頼区間のz値は-1.96≦z≦1.96であることから以下のように計算式を書くこともできます。
‐1.96≦(0.94‐β)/0.042≦1.96 ⇒ 0.94-1,96×0.042≦β≦0.94＋1,96×0.042 ⇒ 0.86≦β≦1.02
※マイナスをかけると≦の向きが入れ替わることに注意
-1.96≦(0.94-β)/0.042 ⇒ -1.96×0.042≦0.94-β ⇒ -0.94-1.96×0.042≦-β ⇒ 0.94+1.96×0.042≧β
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