証券アナリスト 2次試験対策 ~期待値・分散・効用関数の式展開(証券分析)~

どうも、ぐんじぇです！

今回は質問をもらった2019年 午前 第7問 問5に関しての詳細な途中式を記載していきたいと思います。問題としてはアクティブファンドAとパッシブファンドIを組み合わせたポートフォリオの効用関数が最大となるアクティブファンドの保有割合を求める問題となります。また、パッシブファンドのリターンはベンチマークリターンと同様という前提がありR_bにて表記することとします。ほかの前提は市販の過去問をご覧ください。(著作権の関係上、本記事では表記することができません。)

わかりにくくなっているところは共分散の展開と分散や共分散がゼロとなる項はどこなのかということかと思います。ここをしっかりと理解できると実質式展開をしているだけの問題となりますので得点源とすることができると思います。

【解説】

アクティブファンドとパッシブファンドを保有するポートフォリオを考えることになるのでリターンはR＝wR_a＋(１-W)R_b…①となる

○期待値
期待E(R)は①よりE(R)＝wE(R_a)+(1‐w)E(R_b)　(wはアクティブファンド保有率)
＝w[E(a＋R_b＋ε)]+(1‐w)E(R_b)　(∵問題文に与えられているR_aを代入)
＝aw+E(R_b)w+(1-w)E(R_b)　(∵参考参照)
=aw+E(R_b)…②

【参考】
E(α＋R_b＋ε)＝α＋E(R_b)＋0

(∵aが定数であることからE(a)=a)
(∵問題文よりE(ε)＝0)

○分散
分散＝σ²(R_a)w²+σ²(R_b)(1‐w)²+2w(1-w)Cov(Ra,R_b)
＝[σ²(R_b)+σ²(ε)]w²＋σ²(R_b)(1-2w+w²)+(2w-2w²)σ²(R_b)　(∵参考参照)
=σ²(ε)w²+σ²(R_b)　(∵σ²(R_b)w²＋とσ²(R_b)wはそれぞれが打ち消しあいゼロとなる)
=0.01²w²+0.177²…③　(∵図表2より)

【参考】
σ²(R_a)=σ²(a)+σ²(R_b)+σ²(ε)+2Cov(a,R_b)+2Cov(a,ε)+2Cov(R_b,ε)
(∵aは定数であることからσ(a)=0、Cov(a,R_b)＝Cov(a,ε)＝０)
(∵問題文よりCov(R_b,ε)＝０)

Cov(Ra,R_b)=Cov(α＋R_b＋ε,R_b)=σ²(R_b)
(aは定数であることからCov(a,R_b)＝0)
(問題文よりCov(R_b,ε)＝０)

○効用関数
V＝E(R)‐1/(2τ)×σ²(R)
＝aw+E(R_b)-1/(2τ)×(σ²(ε)w²+σ²(R_b))　(∵②、③より)
＝-1/(2τ)×σ²(ε)w²+aw+E(R_b)-1/(2τ)×σ²(R_b)
=-0.04w²+0.03w＋0.045‐4×0.177²　(∵問題文、図表2より値代入)
=-0.04w²+0.03-0.080316

最大値を求めるため、wで微分を行いdV/dw=0となるwが最大値となる
dV/dw=-0.08w+0.03=0 ⇒ w=37.55

⇩インタビュー受けました

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